Biyolojide Üslü ve Köklü İfadeler

ÜSLÜ İFADELER

1. Hücre Bölünmesi ve Çoğalma

Mitoz ve Mayoz:

• Hücre sayısı formülü: N = N₀ × 2ⁿ
  • N₀: Başlangıç hücre sayısı
  • n: Bölünme sayısı
  • Örnek: 1 hücre → 4 bölünme sonrası → 2⁴ = 16 hücre

DNA Replikasyonu:

• PCR (Polimeraz Zincir Reaksiyonu): DNA miktarı = 2ⁿ
  • 30 döngü sonrası: 2³⁰ ≈ 1 milyar kopya
• Hücre döngüsü: Her S fazında DNA miktarı 2¹ katına çıkar

2. Mikroorganizma Üremesi

Bakteriyel Büyüme:

• Üstel büyüme fazı: N(t) = N₀ × 2^(t/g)
  • t: zaman
  • g: jenerasyon süresi (çoğalma zamanı)
• Logaritmik faz: log₁₀N = log₁₀N₀ + (t/g) × log₁₀2

Örnek Hesaplama:

• E. coli bakterisi 20 dakikada ikiye katlanır
• 6 saat (360 dakika) sonra: 2^(360/20) = 2¹⁸ = 262.144 bakteri

3. Popülasyon Dinamiği

Üstel Büyüme Modeli:

• N(t) = N₀e^(rt)
  • r: doğal büyüme oranı
  • t: zaman
  • e: doğal logaritma tabanı (≈2,718)

Lojistik Büyüme Modeli:

• N(t) = K/(1 + ((K-N₀)/N₀)e^(-rt))
  • K: taşıma kapasitesi
  • Nüfus sınırlı kaynaklarda S-eğrisi çizer

Doubling Time (İkilenme Zamanı):

• t_d = ln(2)/r ≈ 0,693/r

4. Genetik ve Olasılık

Mendel Genetiği:

• Genotip oranları: (3:1)ⁿ veya (1:2:1)ⁿ
• Bağımsız kalıtım: 2ⁿ farklı gamet tipi
  • n: heterozigot gen çifti sayısı
  • AaBbCc → 2³ = 8 farklı gamet

Çaprazlama Olasılıkları:

• Dihybrid çaprazlama: (3:1)² = 9:3:3:1
• n gen çifti için: 4ⁿ farklı genotip kombinasyonu

5. Biyokimya ve Metabolizma

pH Hesaplamaları:

• pH = -log₁₀[H⁺]
• [H⁺] = 10^(-pH)
• pH 7 → [H⁺] = 10⁻⁷ mol/L
• pH her 1 birim değişiminde [H⁺] 10 kat değişir

Enzim Kinetiği:

• Michaelis-Menten denklemi: v = (V_max[S])/(K_m + [S])
• İnhibisyon: IC₅₀ değerleri (10⁻⁶ – 10⁻⁹ M)

ATP Üretimi:

• Glikoliz: 1 glukoz → 2² ATP (net 2 ATP)
• Oksidatif fosforilasyon: ~2⁵ ATP (yaklaşık 32-38 ATP)

6. Ekosistem ve Enerji Akışı

Enerji Piramidi:

• Her trofik seviyede enerji %10’a düşer
  • Üreticiler: 10⁴ kcal
  • Birincil tüketiciler: 10³ kcal
  • İkincil tüketiciler: 10² kcal
  • Üçüncül tüketiciler: 10¹ kcal

Biyokütle Azalması:

• Biyokütle = (0,1)ⁿ × Başlangıç biyokütlesi
  • n: trofik seviye sayısı

7. Mikrobiyoloji ve Seyreltme

Seri Seyreltme:

• 10⁻¹, 10⁻², 10⁻³, 10⁻⁶, 10⁻⁹
• Koloni sayımı: CFU/ml = (koloni sayısı) × 10^(seyreltme faktörü)

Konsantrasyon Hesaplamaları:

• Antibiyotik konsantrasyonları: μg/ml = 10⁻⁶ g/ml
• Hormon seviyeleri: ng/ml = 10⁻⁹ g/ml
• Vitamin konsantrasyonları: pg/ml = 10⁻¹² g/ml

8. Moleküler Biyoloji

DNA ve Nükleotid Sayıları:

• İnsan genomu: ≈3,2 × 10⁹ baz çifti
• E. coli genomu: ≈4,6 × 10⁶ baz çifti
• Mitokondriyal DNA: ≈1,6 × 10⁴ baz çifti

Protein ve Molekül Boyutları:

• Hemoglobin: ≈6,4 × 10⁴ Dalton
• Enzim konsantrasyonları: 10⁻⁶ – 10⁻⁹ M

9. Epidemiyoloji

Hastalık Yayılımı:

• R₀ (Temel üreme sayısı): Bir hastanın kaç kişiye bulaştırdığı
• Enfeksiyon modeli: I(t) = I₀ × R₀^t
  • R₀ > 1 → Salgın yayılır (üstel artış)
  • R₀ < 1 → Salgın sönümlenir

Aşılama Eşik Değeri:

• Herd immunity = 1 – (1/R₀)

KÖKLÜ İFADELER

1. İstatistiksel Analizler

Standart Sapma:

• σ = √[Σ(x – μ)²/n]
  • Biyolojik ölçümlerde varyasyon hesabı
  • Boy, kilo, kan değerleri analizinde

Standart Hata:

• SE = σ/√n
  • Örneklem büyüklüğü arttıkça hata azalır

Varyans:

• s² = Σ(x – x̄)²/(n-1)
• Standart sapma = √(varyans)

2. Popülasyon Genetiği

Hardy-Weinberg Dengesi:

• p² + 2pq + q² = 1
• Alel frekansı: p = √(homozigot dominant frekansı)
• Taşıyıcı frekansı: 2pq = 2√(p²)√(q²)

Genetik Uzaklık:

• D = √[Σ(p₁ᵢ – p₂ᵢ)²]
  • İki popülasyon arasındaki genetik fark

3. Ekoloji ve Biyoçeşitlilik

Shannon Çeşitlilik İndeksi:

• H’ = -Σ(pᵢ × ln(pᵢ))
  • Karekök içeren varyans hesapları

Simpson İndeksi:

• D = 1 – Σ(nᵢ/N)²
• Çeşitlilik = 1/√D (bazı varyasyonlarda)

Tür Dağılım Modelleri:

• Normal dağılım: σ = √(Σ(x-μ)²/n)

4. Fizyoloji

Vücut Yüzey Alanı (Mosteller Formülü):

• BSA = √[(Boy(cm) × Kilo(kg))/3600]
  • İlaç dozajı hesaplamalarında kritik

Vücut Kitle İndeksi İlişkili Hesaplar:

• BMI = Kilo/Boy² (üslü ifade)
• Metabolik hız: BMR ∝ √(vücut kütlesi)

Kalp Atış Hızı:

• Maksimum kalp hızı ≈ 220 – yaş
• Hedef kalp hızı = √[(220-yaş) × yoğunluk]

5. Allometri (Boyut-Fonksiyon İlişkisi)

Kleiber Yasası:

• Bazal metabolik hız ∝ Kütle^(3/4)
• BMR = 70 × (Kütle)^0,75
  • Kütle^0,75 = (Kütle)^(3/4) = ⁴√(Kütle³)

Yüzey Alanı-Hacim İlişkisi:

• Yüzey alanı ∝ L²
• Hacim ∝ L³
• Oran = L²/L³ = 1/L

6. Difüzyon ve Transport

Fick’in Difüzyon Yasası:

• t ∝ x²/D
• x = √(2Dt)
  • x: difüzyon mesafesi
  • t: zaman
  • D: difüzyon katsayısı

Oksijen Difüzyonu:

• Akciğerlerde O₂ difüzyon mesafesi: √(t) ile orantılı

7. Nörobiyoloji

Aksiyon Potansiyeli Yayılımı:

• Hız ∝ √(akson çapı)
• Miyelinli liflerde: v = √(d) × k

Sinaps Mesafesi:

• Sinaptik gecikmeler: √(mesafe) ile orantılı

8. Büyüme ve Gelişim

Hücresel Büyüme:

• Hacim artışı: V ∝ r³
• Yüzey alanı: A ∝ r²
• Oran: A/V ∝ 1/r → Hücre büyüklüğünü sınırlar

Organizma Boyutu:

• Allometrik büyüme: y = ax^b
  • b = 1/2 veya 1/3 gibi kesirlerde köklü ifadeler

ÖZEL UYGULAMALAR

Farmakoloji

Yarı Ömür Hesaplamaları:

• t₁/₂ = 0,693/k
• Kalan miktar: C(t) = C₀ × (1/2)^(t/t₁/₂) = C₀ × 2^(-t/t₁/₂)
• Eliminasyon: C(t) = C₀ × e^(-kt)

İlaç Dozajı:

• Loading dose = V_d × C_target
• Maintenance dose = CL × C_ss
  • Vücut yüzeyi ile √ içeren formüller

Biyoinformatik

BLAST Skorları:

• E-value = K × m × n × e^(-λS)
• Bit score = (λS – ln K)/ln 2

Sekans Analizi:

• Olasılık hesapları: 4ⁿ (n nükleotid için)

Radyobiyoloji

Radyoaktif İzotoplar:

• N(t) = N₀ × (1/2)^(t/t₁/₂)
• Aktivite = A₀ × e^(-λt)
• C-14 datingi: t₁/₂ = 5,730 yıl

PRATIK ÖRNEKLER

Örnek 1: Bakteri Üremesi

Bir bakterinin 30 dakikada bir bölündüğünü varsayın:

• 5 saat = 300 dakika
• Bölünme sayısı: 300/30 = 10
• Sonuç: 2¹⁰ = 1.024 bakteri

Örnek 2: pH Değişimi

Kan pH’sı 7,4’ten 7,0’a düşerse:

• [H⁺] değişimi = 10^(-7,0)/10^(-7,4) = 10^0,4 ≈ 2,5 kat artış

Örnek 3: Popülasyon Artışı

%2 yıllık artış hızıyla:

• İkilenme zamanı: 70/2 = 35 yıl
• N(35) = N₀ × 2¹ = 2N₀

Örnek 4: Standart Sapma

5 bitkinin boyları: 10, 12, 14, 16, 18 cm

• Ortalama: μ = 14 cm
• σ = √[(16+4+0+4+16)/5] = √8 ≈ 2,83 cm

ÖZET

Biyolojide üslü ve köklü ifadeler:

• Hücresel ve moleküler düzeyde: Büyüme, bölünme, replikasyon
• Popülasyon seviyesinde: Dinamik, istatistik, genetik
• Ekosistem düzeyinde: Enerji akışı, biyoçeşitlilik
• Uygulama alanlarında: Tıp, farmakoloji, biyoteknoloji

Bu matematiksel araçlar, biyolojik sistemlerin kantitatif analizini mümkün kılar ve bilimsel tahminler yapılmasını sağlar.